Как исследовать функцию на непрерывность

комментариев

Для этого разложим числитель на множители:. Тогда заданная функция примет вид: П1. Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются разрывами функции. Разделите числитель и знаменатель дроби в П1 на : P2.

Такую же операцию мы можем проделать, если. Таким образом, при. То есть функции и отличаются только в одной точке: определена в точке , и неопределена в этой точке. Для определения рода разрывов нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления воспользуемся тем, что если изменить значения функции или сделать их неопределенными в конечном числе точек, то это никак не повлияет на величину или существование предела в произвольной точке.

То есть, пределы функции в произвольных точках равны пределам функции. Рассмотрим точку. Знаменатель дроби в функции , при , не обращается в нуль. Поэтому она определена и непрерывна в точке . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:. Следовательно, эта точка является точкой первого вида предотвратимого разрыва. Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем: ; Поскольку пределы бесконечны, в этой точке существует разрыв второго рода.

Функция имеет разрыв второго рода.

Функция имеет устранимую прерывность первого порядка в точке , и прерывность второго порядка в точке . Использованная литература: О. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Примеры и условия непрерывности функции. Непрерывность в точке и на интервале На этом уроке мы научимся устанавливать непрерывность функции.

Мы будем делать это с помощью пределов, причем с односторонними пределами - правым и левым, которые совсем не страшны, хотя и записываются в виде и. Но что такое непрерывность функции? Пока мы не добрались до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги. Если такая линия проведена, значит, она непрерывна. Эта линия является графиком непрерывной функции. Графически функция непрерывна в точке, если ее график не "ломается" в этой точке.

График такой непрерывной функции показан на рисунке ниже. Определение непрерывности функции через предел. Функция непрерывна в точке, если выполняются три условия: 1. Функция определена в точке. Существует предел функции в точке , причем правый и левый пределы равны:. Правый и левый пределы вычисляются как пределы вообще: в выражении функции вместо x подставляется то, к чему стремится x, вместе с плюс нулем для правого предела и минус нулем для левого предела.

Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: Могут ли правый и левый пределы быть неравными, если к значению, к которому стремится x, прибавляется или отнимается только ноль? Когда и почему - об этом рассказывается в уроке о разрывах функций и их типах.

Если хотя бы одно из вышеперечисленных условий не выполняется, функция не является непрерывной в точке. Считается, что функция имеет разрыв, а точки на графике, в которых график является разрывным, называются точками разрыва.

Пример 1. Проверим все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие выполняется, так как тот факт, что функция определена в каждой граничной точке, следует из определения функции.

Остается проверить два других условия. Найдите левосторонний предел в этой точке:. Читайте также: Радиатор выступает за пределы подоконника. Найдем их:. Основной вывод заключается в том, что эта функция непрерывна в каждой граничной точке. Определите непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотрите решение Пример 2. Пример 3. Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере. Предположим, что над столом на нити висит груз.

Если мы немного изменим массу груза, расстояние l изменится незначительно: малые изменения m соответствуют малым изменениям l. Однако если масса груза близка к прочности нити, небольшое увеличение массы может привести к разрыву нити: расстояние l подскочит и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. На участке этот график представляет собой непрерывную сплошную линию, но в точке он прерывистый.

В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Если речь идет о косвенном измерении y путем измерения значения x , то слова "при небольшом изменении x значение y меняется мало" означают: "если ошибка в измерении x мала, то и ошибка в значении y мала"

.

Точнее говоря, ошибку значения y можно сделать настолько малой, насколько это возможно, если значение x измерено достаточно точно. Величина ошибки измерения измеряется наибольшей допустимой погрешностью, или, другими словами, точностью измерения.

Если x измеряется с точностью , то это означает, что отклонение полученного значения x от точного значения a меньше, чем , то есть. Таким образом, какая бы точность ни была задана, всегда можно добиться того, чтобы отклонение f x от f a было меньше , то есть. Добиться такой точности можно, выбрав x достаточно близко к a. Из неравенства.

Навигация

thoughts on “Как исследовать функцию на непрерывность ”

  1. Daigul :

    Очень забавная информация

  2. Malaran :

    Видела…видела….слишком всё утрировано, но круто)))

  3. Meztimuro :

    мне нра) хорошая идея.

  4. Kizilkree :

    Как часто человеку приходиться выбирать между синицей в руках и журавлем, парящим над головой. Но на самом деле он выбирает между страхами. Он боится оставить все так, как есть, если его это не устраивает. И боится, что не добьется того, на что надеется, но потеряет синицу.

  5. Moogushicage :

    Авторитетный ответ, познавательно...

  6. JoJorn :

    Скажите мне, пожалуйста - где я могу об этом прочитать?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *