Метод ньютона для систем нелинейных уравнений

комментариев

Для решения практических задач достаточно найти приближенное значение x, которое в некотором смысле близко к точному решению уравнения xtocn. В большинстве случаев нахождение приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяются корни, т.

.

На втором этапе уточняется корень на одном из этих отрезков, т. Достигнутая точность может быть оценена либо "по функции" в найденной точке x, либо по функции достаточно близкой к 0, т. Для некоторых методов уточнения желательно, чтобы отрезок, найденный на первом этапе, содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна.

Монотонность можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной. Найдите корень уравнения на выбранном отрезке, используя опции Найти параметр и Найти решение. Решение Создайте в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции, и используйте ее для построения точечного графика. На рисунке 1 показан снимок решения. Из графика видно, что уравнение имеет три корня, которые принадлежат отрезкам [-4, -3], [0, 1] и [2, 3]. Эти отрезки также можно определить, наблюдая за сменой знаков функции в таблице.

Построив график, можно сделать вывод, что функция f x монотонна на указанных отрезках, а значит, каждый из них содержит только один корень. Такой же анализ можно провести в Mathcad. Шаг цикла формируется путем указания начального значения и следующего за ним значения переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая затем визуально отображается в виде пунктирной линии.

Рисунок 1 - Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения 1. Если начальное приближение плохое, решение может быть не найдено. В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции Выбрать параметр и Найти решение. Пример оформления решения показан на рисунках 2 и 3. Рисунок 2 - Ввод значений для использования инструментов решения уравнений в Excel Рисунок 3 - Результаты использования инструментов решения уравнений в Excel В Mathcad можно использовать функцию корней ....

.

Пример использования функции root ... показан на рисунке 4, а блок решения на рисунке 5. Рисунок 4 - Решение уравнения с помощью функции корень ... в Mathcad Рисунок 5 - Решение уравнения с помощью блока решений Mathcad Как видите, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью.

Эта точность зависит от метода, используемого в пакете, и, в некоторой степени, от настроек в пакете. Контролировать точность результатов довольно сложно, а зачастую и невозможно.

В то же время, очень легко построить собственную таблицу или написать программу, реализующую один из методов уточнения корней. Для такого расчета можно использовать заданные пользователем критерии точности. Это также позволяет понять процесс расчета, не полагаясь на принцип Митрофанушки: "Есть извозчик, он вас отвезет". Далее рассматриваются несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: ceteris paribus более эффективным будет метод уточнения корней, при котором результат с той же погрешностью находится при меньшем числе вычислений функции f x при одновременном достижении максимальной точности за то же число вычислений функции.

Затем сравниваются знаки функции на концах каждой из двух половинок, например, по знаку произведения значений функции на концах определяют ту, которая содержит решение, причем знаки функции на концах должны быть разными. Условием окончания является малость отрезка, содержащего корень "точность относительно x или если значение функции в середине отрезка "точность по y" близко к 0. Решением уравнения является середина отрезка, найденного на последнем шаге. Определите, сколько шагов нужно выполнить, разделив отрезок пополам, и какую точность по x при этом получить, чтобы достичь точности по y, равной 0,1; 0,01; 0. Решение Для автоматического продолжения рядов можно использовать табличный процессор Excel.

Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку электронной таблицы. Второй шаг - автоматизировать процесс нахождения половины отрезка, содержащего корень. Можно продолжать копировать вторую строку таблицы на столько последующих строк, сколько потребуется.

Итерационный процесс заканчивается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньше заданной точности ex. В этом случае значение середины отрезка в последнем приближении, принимается за приближенное значение искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 показан снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать форму, подобную той, что показана на рисунке 7. Это позволит автоматически удлинять или укорачивать таблицу.

Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3]. Рисунок 6 - Уточнение корня путем деления отрезка прямой пополам в Excel Рисунок 7 - Уточнение корня путем деления отрезка прямой пополам в Mathcad 1. <1> Условием применимости метода является монотонность функции на начальном отрезке, что обеспечивает единственность корня на этом отрезке. Метод вычисления методом хорд аналогичен методу деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге вычисляется новая точка x внутри отрезка [a,b] по любой из следующих формул

Алгоритм применим для монотонных функций, сохраняющих выпуклость или вогнутость на промежутке между начальным приближением и корнем уравнения t.

Просто оценить "точность с y" по значению левой части уравнения на следующем шаге. Чтобы оценить "точность с x", нужно следить за разницей в приближениях на предыдущем и последующем шагах, которая связана с разницей между найденным приближением и точным значением корня. Отметим следующую особенность метода: последовательность x1, x2, x3,... подходит к корню с другой стороны, в отличие от метода хорд, при прочих равных условиях.

Главным преимуществом метода касательных является его квадратичная скорость сходимости, что позволяет сократить количество вычислений функции во многих случаях.

Вычисляйте с помощью формулы: Для вычислений в Excel составляем таблицу, показанную на рисунке 8. Вычисления в Mathcad выполняются аналогичным образом. Существенным облегчением является наличие оператора, который автоматически вычисляет производную функции. Наиболее трудоемкой частью вычислений по методу Ньютона является вычисление производной на каждом шаге.

При определенных обстоятельствах можно использовать упрощенный метод Ньютона, в котором производная вычисляется только один раз, в начальной точке. При этом используется модифицированная формула. Естественно, упрощенный метод обычно требует больше шагов. Если вычисление производной сопряжено с серьезными трудностями, например, если функция задана не аналитическим выражением, а программой, которая вычисляет ее значения, используется модифицированный ньютоновский метод, называемый методом секущих.

В данном случае производная вычисляется приблизительно по значениям функции в двух последовательных точках, то есть используется формула. Секантный метод требует не одной, а двух начальных точек - x0 и x1. Точка x1 обычно задается путем смещения x0 к другой границе отрезка на небольшую величину, например, 0.

Комбинированный метод использует оба алгоритма одновременно на каждом шаге для повышения эффективности. Интервал, содержащий корень, уменьшается с обеих сторон, что приводит к различным условиям окончания поиска. Поиск может быть прекращен, как только в середине интервала, полученного на следующем шаге, значение функции станет по модулю меньше заданной ошибки ef.

Если, согласно сформулированному выше правилу, метод Ньютона применяется к правой границе отрезка, то для вычислений используются формулы: ;. Если метод Ньютона применяется к левой границе, то в предыдущих формулах меняются местами a и b.

Результирующее значение x1 рассматривается как очередное приближение к корню. Полученная последовательность: x0, x1, x2, x3 x4, Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное число решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.

Численные методы решения системы уравнений являются итерационными и требуют начального приближения X0. Рассмотрим две группы таких методов: Метод Ньютона с его различными модификациями, а также методы простых итераций и Зейделя. Отметим, что в последней формуле используется вычисление матрицы, обратной к матрице первых производных. Вычисление прекращается, когда выполняется одно или иногда оба из двух условий.

Первое заключается в том, что на следующем шаге максимальное по модулю изменение аргументов x и y становится меньше заданной погрешности в аргументах. Согласно второму из условий, на следующем шаге максимальное значение по модулю левых сторон уравнений должно быть меньше заданной ошибки в функциях.

Второе условие заключается в том, что на следующем шаге максимальное значение по модулю левых сторон уравнений должно быть отлично от нуля, чем заданная ошибка в функциях.

В упрощенном методе Ньютона матрица производной и обратная ей матрица вычисляются только один раз в начальной точке, и для вычислений используется матричная формула. Эти формулы особенно легко написать в Mathcad, где есть операторы для вычисления производных и матричных операций. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно легко написать и в Excel.

Но здесь необходимо предварительно получить формулы для вычисления производных. Mathcad также можно использовать для аналитического вычисления производных.

В случае двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет выглядеть следующим образом. Для решения такой системы задаются начальные приближения x0, y0. Упрощенные решения получаются шаг за шагом путем подстановки найденных на предыдущем шаге значений в нужные части уравнений. В методе простых итераций для уточнения решения используют формулы:. В методе итераций Зейделя для каждого расчета используются уже найденные наиболее точные значения каждой переменной.

Для рассматриваемого случая с двумя переменными эта логика приводит к формулам. Отделение корней и стандартные средства решения нелинейного уравнения Задание для работы 1. Разделите на целые числа все корни заданного уравнения: a - построив таблицу; b - построив график. Найдите корень уравнения на одном из выбранных интервалов по согласованию с преподавателем, используя стандартные варианты, имеющиеся в программных пакетах.

Для каждого варианта выполните три вычисления, взяв в качестве начального приближения как границу, так и середину отрезка. Результаты вычислений запишите в таблицу типа Инструмент Вариант.

Навигация

thoughts on “Метод ньютона для систем нелинейных уравнений ”

  1. Doll :

    Перефразируйте пожалуйста

  2. Tolkree :

    Блог сделан очень профессионально, и легко читается. То, что мне нужно. И многим другим.

  3. Kekora :

    Братва про нас!

  4. Megrel :

    Ну и писанина

  5. Dosida :

    Интересный вариант

  6. Kazrajind :

    браво...так держать... супер

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *